Diferencialna enačba, matematična izjava, ki vsebuje eno ali več izpeljank - to je izrazov, ki predstavljajo hitrost spreminjanja nenehno različnih količin. Diferencialne enačbe so v naravoslovju in tehniki ter na številnih drugih področjih kvantitativnega proučevanja zelo pogoste, saj je za sisteme, ki se spreminjajo, mogoče neposredno opazovati in meriti hitrosti njihovega spreminjanja. Rešitev diferencialne enačbe je na splošno enačba, ki izraža funkcionalno odvisnost ene spremenljivke od ene ali več drugih; običajno vsebuje konstantne izraze, ki niso v prvotni diferencialni enačbi. Drug način tega je, da rešitev diferencialne enačbe proizvede funkcijo, ki jo je mogoče uporabiti za napovedovanje obnašanja izvirnega sistema, vsaj v določenih omejitvah.
analiza: Newtonove in diferencialne enačbe
uporaba analize so diferencialne enačbe, ki povezujejo hitrost spreminjanja različnih količin z njihovimi trenutnimi vrednostmi,
Diferencialne enačbe so razvrščene v več širokih kategorij, ki pa so nadalje razdeljene na številne podkategorije. Najpomembnejše kategorije so navadne diferencialne enačbe in parcialne diferencialne enačbe. Kadar je funkcija, ki je vključena v enačbo, odvisna samo od ene same spremenljivke, so njeni derivati navadni derivati in diferencialna enačba se uvršča med navadne diferencialne enačbe. Po drugi strani pa je, če je funkcija odvisna od več neodvisnih spremenljivk, tako da so njeni derivati delni derivati, diferencialna enačba razvrsti kot delna diferencialna enačba. Sledijo primeri navadnih diferencialnih enačb:
V teh je y pomeni funkcijo in t ali x je neodvisna spremenljivka. Tu se uporabljata simbola k in m za določene konstante.
Ne glede na to, kateri tip je, se pravi, da je diferencialna enačba n-tega reda, če vključuje izpeljanko n-tega reda, vendar ne izpeljanka reda, višjega od tega. Enačba je primer delne diferencialne enačbe drugega reda. Teorije navadnih in delnih diferencialnih enačb so izrazito različne, zato obe kategoriji obravnavamo ločeno.
Namesto ene diferencialne enačbe je lahko predmet proučevanja sočasen sistem takšnih enačb. Oblikovanje zakonov dinamike pogosto vodi do takšnih sistemov. V mnogih primerih je enojna diferencialna enačba n-tega reda prednostno nadomestljiva s sistemom n hkratnih enačb, od katerih je vsaka iz prvega reda, tako da lahko uporabimo tehnike iz linearne algebre.
Navadna diferencialna enačba, v kateri sta na primer funkcija in neodvisna spremenljivka označeni z y in x, je dejansko implicitni povzetek bistvenih značilnosti y kot funkcije x. Te značilnosti bi bile verjetno bolj dostopne za analizo, če bi bilo mogoče izdelati izrecno formulo y. Takšno formulo ali vsaj enačbo v x in y (brez izpeljank), ki jo je mogoče sklepati iz diferencialne enačbe, imenujemo rešitev diferencialne enačbe. Postopek sklepanja raztopine iz enačbe z uporabo algebre in računanja imenujemo reševanje ali integriranje enačbe. Treba pa je opozoriti, da diferencialne enačbe, ki jih je mogoče izrecno rešiti, tvorijo le majhno manjšino. Tako je treba večino funkcij preučiti s posrednimi metodami. Celo obstoj je treba dokazati, kadar ni možnosti, da bi ga predložili v pregled. V praksi se za pridobitev uporabnih približnih rešitev uporabljajo metode numerične analize, ki vključujejo računalnike.
