Logika in metalogija
V enem smislu je treba logiko identificirati s predikatnim računom prvega reda, računanjem, v katerem so spremenljivke omejene na posameznike fiksne domene - čeprav lahko vključuje tudi logiko identitete, simbolizirano "=", ki jemlje navadne lastnosti identitete kot del logike. V tem smislu je Gottlob Frege formalno računanje logike dosegel že leta 1879. Včasih pa se logika razlaga tako, da vključuje tudi predikatne kalkulacije višjega reda, ki sprejemajo spremenljivke višjih vrst, kot so tiste, ki segajo po predikatah (ali razredih in odnosih)) in tako naprej. Potem je to majhen korak k vključitvi teorije množic in dejansko se aksiomatična teorija množic pogosto obravnava kot del logike. Za namene tega članka pa je bolj primerno, da se razprava omeji na logiko v prvem smislu.
Težko je ločiti pomembne ugotovitve v logiki od tistih iz metalogije, ker vsi teoremi, ki jih zanimajo logiki, se nanašajo na logiko in zato pripadajo metalogicam. Če je p matematični izrek - še posebej o logiki - in P je vez matematičnih aksiomov, ki se uporabljajo za dokazovanje p, potem lahko vsak p pretvori v logiko "ne-P ali p". Vendar se matematika ne izvaja z izrecnim izvajanjem vseh korakov, kot so formalizirani v logiki; izbira in intuitivno razumevanje aksiomov sta pomembna tako za matematiko kot za metamatiko. Dejanske logične izpeljave, kakršne sta izvedla tik pred prvo svetovno vojno Alfred North Whitehead in Bertrand Russell, za logike nista zelo zanimiva. Zato bi se lahko zdelo odveč, če bi uvedli izraz metalogic. V tej klasifikaciji pa je metalogic zamišljen tako, da se ukvarja ne le z ugotovitvami o logičnih izračunih, ampak tudi s študijami formalnih sistemov in formalnih jezikov na splošno.
Običajni formalni sistem se od logičnega računa razlikuje po tem, da ima sistem običajno nameravano razlago, medtem ko logični izračun namenoma pušča možne interpretacije odprte. Tako govorimo, na primer, o resničnosti ali neresničnosti stavkov v formalnem sistemu, vendar glede logičnega računanja govorimo o veljavnosti (tj. Da je resnična v vseh razlagah ali v vseh možnih svetovih) in o izpolnljivosti (oz. imeti model - torej biti resničen v določeni razlagi). Torej ima popolnost logičnega izračuna precej drugačen pomen od tistega v formalnem sistemu: logični izračun dovoljuje veliko stavkov, tako da niti stavek niti njegova negacija nista teorem, ker je v nekaterih razlagah resničen in v drugih napačen, zahteva le, da je vsak veljavni stavek izrek.
