Logaritem matematika

Logaritem, eksponent ali moč, na katero je treba dvigniti bazo, da dobi določeno število. Matematično izraženo je x logaritem n do osnove b, če je b ^x = n, v tem primeru pa zapišemo x = log _b n. Na primer, 2 ³ = 8; torej je 3 logaritem 8 do osnove 2, ali 3 = log ₂ 8. Na enak način, ker je 10 ² = 100, potem je 2 = log ₁₀ 100. Logaritmi slednje vrste (torej logaritmi z bazo 10) se imenujejo običajni ali briggsian logaritmi in so napisani preprosto log n.

Izumljeni v 17. stoletju za pospešitev izračunov so logaritmi močno skrajšali čas, potreben za množenje števil s številnimi števkami. Pri numeričnem delu so bili osnovni več kot 300 let, do popolnosti mehanskih računskih strojev v poznem 19. stoletju in računalnikov v 20. stoletju niso postali zastareli za obsežne izračune. Naravni logaritem (z osnovo e ≅ 2.71828 in zapisan ln n) pa ostaja še vedno ena najbolj uporabnih funkcij v matematiki, z uporabo matematičnih modelov v fizikalnih in bioloških znanostih.

Lastnosti logaritmov

Logaritmi so znanstveniki hitro sprejeli zaradi različnih uporabnih lastnosti, ki so poenostavili dolge, mučne izračune. Zlasti znanstveniki bi lahko našli izdelek dveh števil m in n tako, da so v posebni tabeli poiskali logaritem vsake številke, skupaj dodali logaritme in nato ponovno pregledali tabelo, da bi našli številko s tistim izračunanim logaritmom (znan kot njegov antilogaritem). To razmerje je izraženo z običajnimi logaritmi in log mn = log m + log n. Na primer, 100 × 1.000 lahko izračunamo tako, da poiščemo logaritme 100 (2) in 1.000 (3), če logaritme seštejemo skupaj (5) in nato v tabeli poiščemo njen antilogaritem (100.000). Podobno se problemi delitve pretvorijo v težave z odštevanjem z logaritmi: log m / n = log m - log n. To še ni vse; izračun moči in korenin je mogoče poenostaviti z uporabo logaritmov. Logaritmi se lahko pretvorijo tudi med poljubnimi pozitivnimi osnovami (le da 1 ni mogoče uporabiti kot osnovo, ker so vse njegove moči enake 1), kot je prikazano v

tabela logaritmičnih zakonov.

V logaritmi so običajno vključeni le logaritmi za številke med 0 in 10. Da bi dobili logaritem nekega števila zunaj tega obsega, je bilo število prvič zapisano v znanstveni zapis kot produkt njegovih pomembnih številk in eksponentne moči - na primer, 358 bi bilo zapisano kot 3,58 × 10 ² in 0,0046 kot 4,6 × 10 ⁻³. Potem bi v tabeli našli logaritem pomembnih števk - decimalni ulomek med 0 in 1, znan kot mantisa. Na primer, da bi našli logaritem 358, bi poiskali dnevnik 3,58 ≅ 0,55388. Zato je dnevnik 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,555388. V primeru števila z negativnim eksponentom, kot je 0,0046, bi lahko pogledali dnevnik 4,6 ≅ 0,66276. Zato je dnevnik 0,0046 = dnevnik 4,6 + dnevnik 0,001 = 0,66276 - 3 = −2,33724.