Evklidova vetrnica

Pitagorov izrek pravi, da je vsota kvadratov na nogah desnega trikotnika enaka kvadratu na hipotenuzi (stran nasproti pravemu kotu) - v znanih algebrskih notacijah ² + b ² = c ². Babilonci in Egipčani so našli nekaj celih trojk (a, b, c), ki zadovoljujejo odnos. Pitagora (približno 580-c. 500 bc) ali eden od njegovih privržencev je morda prvi dokazal izrek, ki nosi njegovo ime. Euclid (cca. 300 bc) je v svojih Elemenih, znan kot dokaz vetrnice iz oblike figure, ponudil pametno predstavitev pitagorejskega izrekanja.

1. Na straneh desne ΔABC narišite kvadratke.

2. BCH in ACK sta premici, ker ∠ACB = 90 °.

3. ∠EAB = ∠CAI = 90 °, po konstrukciji.

4. ∠BAI = ∠BAC + ∠CAI = ∠BAC + ∠EAB = ∠EAC, za 3.

5. AC = AI in AB = AE, po konstrukciji.

6. Zato je ΔBAI ≅ ΔEAC po teoremu o stranskem kotu (glej stranska vrstica: Most riti), kot je poudarjeno v delu (a) slike.

7. Narišite CF vzporedno z BD.

8. Pravokotnik AGFE = 2ΔACE. Ta izjemen rezultat izhaja iz dveh predhodnih izrek: (a) so območja vseh trikotnikov na isti bazi, katerih tretja točka leži kjer koli na nedoločno podaljšani črti, vzporedni s podlago, enaka; in (b) površina trikotnika je polovica površine katerega koli paralelograma (vključno s katerim koli pravokotnikom) z isto osnovo in višino.

9. Kvadrat AIHC = 2ΔBAI, po istem izreku paralelograma kot v koraku 8.

10. Zato pravokotnik AGFE = kvadrat AIHC po korakih 6, 8 in 9.

11. ∠DBC = ∠ABJ, kot v korakih 3 in 4.

12. BC = BJ in BD = AB, s konstrukcijo kot v koraku 5.

13. ΔCBD ≅ ΔJBA, kot v koraku 6 in je poudarjeno v delu (b) slike.

14. Pravokotnik BDFG = 2ΔCBD, kot v koraku 8.

15. Kvadrat CKJB = 2ΔJBA, kot v koraku 9.

16. Zato je pravokotnik BDFG = kvadrat CKJB, kot v koraku 10.

17. Kvadrat ABDE = pravokotnik AGFE + pravokotnik BDFG, po konstrukciji.

18. Zato je kvadrat ABDE = kvadrat AIHC + kvadrat CKJB po korakih 10 in 16.

    Prva knjiga Evklidovih elementov se začne z opredelitvijo točke in se konča s pitagorejskim izrekom in obratno (če je vsota kvadratov na dveh straneh trikotnika enaka kvadratu na tretji strani, mora biti pravi trikotnik). To potovanje od posebne definicije do abstraktne in univerzalne matematične izjave je bilo vzeti kot simbol razvoja civiliziranega življenja. Izrazit primer identifikacije Euclidovega sklepanja z najvišjim izražanjem misli je bil predlog leta 1821, ki ga je nemški fizik in astronom napisal, da bi odprli pogovor z prebivalci Marsa, tako da so jim pokazali naše trditve o intelektualni zrelosti. Vse, kar smo morali storiti, da bi pritegnili njihovo zanimanje in odobritev, je bilo trditi, da bomo plužili in zasadili velika polja v obliki diagrama vetrnic ali, kot so predlagali drugi, da bi prekopali kanale, ki kažejo na pitagorejski izrek v Sibiriji ali Sahari, napolnite jih z oljem, prižgite in čakajte na odziv. Eksperimenta ni poskusilo, pri čemer ne bi bilo odločeno, ali prebivalci Marsa nimajo teleskopa, geometrije ali ne.