Hipoteza kontinuuma, izjava teorije množic, da je množica resničnih števil (kontinuum) v nekem smislu tako majhna, kot je lahko. Leta 1873 je nemški matematik Georg Cantor dokazal, da je zveznost neslišljiva - torej so realna števila večja neskončnost od štetnih števil - ključni rezultat za začetek teorije množic kot matematičnega predmeta. Poleg tega je Cantor razvil način razvrščanja velikosti neskončnih sklopov glede na število elementov ali njegovo kardinalnost. (Glej teorijo množic: Kardinalnost in čezmejna števila.) V teh izrazih lahko hipotezo o kontinuumu navedemo na naslednji način: Kardinalnost kontinuuma je najmanjša nešteta kardinalna številka.
teorija množic: Kardinalnost in čezmejna števila
domneva, znana kot hipoteza kontinuuma.
V Cantorjevem zapisu je hipotezo o kontinuumu mogoče navesti s preprosto enačbo 2 ℵ 0 = ℵ 1, kjer je ℵ 0 kardinalna številka neskončno štetljive množice (kot je nabor naravnih števil) in kardinalna števila večjih „ dobro naročljivi kompleti "so ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indeksirano z zaporednimi številkami. Kardinalnost kontinuuma je lahko enaka 2 ℵ 0; tako hipoteza o kontinuumu izključuje obstoj velikosti vmesnih velikosti med naravnimi števili in kontinuumom.
Močnejša izjava je posplošena hipoteza o kontinuumu (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 za vsako zaporedno število α. Poljski matematik Wacław Sierpiński je dokazal, da lahko z GCH izpeljemo aksiom izbire.
Tako kot pri izbiri aksioma je tudi ameriški matematik Kurt Gödel, rojen v Avstriji, leta 1939 dokazal, da če drugi standardni aksiomi Zermelo-Fraenkel (ZF; glej
tabela) so skladni, potem ne ovržejo hipoteze kontinuuma ali celo GCH. To pomeni, da rezultat dodajanja GCH v druge aksiome ostane dosleden. Nato je leta 1963 ameriški matematik Paul Cohen sliko dopolnil tako, da je ponovno pokazal, da je ZF dosleden, da ZF ne dokazuje hipoteze kontinuuma.
Ker ZF niti ne dokazuje niti ne ovrže hipoteze o kontinuumu, ostaja vprašanje, ali sprejeti hipotezo o kontinuumu, ki temelji na neformalnem konceptu tega, kaj so. Splošni odgovor v matematični skupnosti je bil negativen: hipoteza o kontinuumu je omejujoča izjava v kontekstu, kjer ni znanega razloga za postavitev omejitve. V teoriji množice operacija nastavitve moči vsakemu nizu kardinalnosti ℵ α dodeli svoj nabor vseh podskupin, ki ima kardinalnost 2 ℵ α. Zdi se, da ni razloga, da bi omejili vrsto podskupin, ki bi jih lahko imel neskončen niz.
