Sturm-Liouvillov problem ali lastna vrednost v matematiki je določen razred delnih diferencialnih enačb (PDE), ki so podvrženi dodatnim omejitvam, poznanim kot mejne vrednosti, na rešitvah. Takšne enačbe so običajne tako v klasični fiziki (npr. Toplotna prevodnost) kot tudi v kvantni mehaniki (npr. Schrödingerjeva enačba) za opisovanje procesov, pri katerih je neka zunanja vrednost (mejna vrednost) konstantna, medtem ko sistem, ki nas zanima, prenaša neko obliko energije.
Sredi 1830-ih so francoski matematiki Charles-François Sturm in Joseph Liouville neodvisno delali na problematiki prevodnosti toplote skozi kovinsko palico, pri čemer so razvijali tehnike za reševanje velikega razreda PDE-jev, od katerih so najpreprostejši [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0, kjer je y fizikalna količina (ali funkcija kvantnega mehanskega valovanja) in je λ parameter, ali lastna vrednost, ki enačbo omejuje tako da y izpolnjuje mejne vrednosti na končnih točkah intervala, čez katerega se giblje spremenljivka x. Če funkcije p, q in r izpolnjujejo ustrezne pogoje, bo imela enačba družino rešitev, imenovane lastne funkcije, ki ustrezajo lastnim raztopinam.
Za bolj zapleten nehomogeni primer, v katerem je desna stran zgornje enačbe funkcija, f (x), ne pa nič, lahko lastne vrednosti ustrezne homogene enačbe primerjamo z lastnimi vrednostmi izvirne enačbe. Če so te vrednosti različne, bo težava imela edinstveno rešitev. Po drugi strani pa, če se ena od teh lastnih vrednosti ujema, problem ne bo imel rešitve ali celotne družine rešitev, odvisno od lastnosti funkcije f (x).
