Hipokrat iz Chiosa (fl. C. 460 bc) je pokazal, da se lahko območja v obliki lune med krožnimi loki, znanimi kot lune, izrazijo natančno kot pravokotno območje ali kvadrat. V naslednjem preprostem primeru imata dve luni, ki sta se razvili okoli strani desnega trikotnika, skupno območje, enako površini trikotnika.
-
Začnite z desno ΔABC, narišite krog, katerega premer sovpada z AB (stran c), hipotenuzo. Ker mora biti kateri koli desni trikotnik, narisan s premerom kroga za njegovo hipotenuzo, vpisan znotraj kroga, mora biti C na krožnici.
-
Narišite polkroge s premerom AC (stran b) in BC (stran a), kot je prikazano na sliki.
-
Označimo dobljene lune L 1 in L 2 ter dobljena segmenta S 1 in S 2, kot je prikazano na sliki.
-
Zdaj mora biti vsota lune (L 1 in L 2) enaka vsoti polkrogov (L 1 + S 1 in L 2 + S 2), ki jih vsebujeta minus dva odseka (S 1 in S 2). Tako je L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (saj je površina kroga π večja od kvadrata polmera).
-
Vsota odsekov (S 1 in S 2) je enaka površini polkroga na podlagi AB minus površina trikotnika. Tako je S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
Zamenjati izraz v koraku 5 v korak 4 in razčleniti običajne izraze, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC.
-
Ker je ∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, po Pitagorejevem izrek. Tako je L 1 + L 2 = ΔABC.
Hipokratu je uspelo kvadratiti več vrst lune, nekatere na lokih, večjih in manjših od polkrogov, in nagovarjal je, čeprav morda ni verjel, da bi njegova metoda lahko kvadratirala celoten krog. Konec klasične dobe je Boethius (c. Ad 470–524), čigar latinski prevodi odlomkov Evklida bi polt tisočletja zadrževali luč geometrije, je omenil, da je nekdo opravil kroženje kroga. Ali je neznani genij uporabil lune ali kakšno drugo metodo, ni znano, saj Boethius zaradi pomanjkanja prostora ni pokazal. Tako je prenesel izziv kvadrature kroga skupaj z odlomki geometrije, ki so očitno koristni pri njegovem izvajanju. Evropejci so se ob razsodni nalogi dobro držali razsvetljenstva. Nazadnje je leta 1775 pariška akademija znanosti, naveličana naloge opazovanja napak v številnih rešitvah, ki so ji bile predložene, zavrnila nadaljnje povezave s krožniki.
![Rimska republika starodavna država [509 bc-27 bc]](https://images.thetopknowledge.com/img/geography-travel/8/roman-republic-ancient-state-509-bc-27-bc.jpg "Rimska republika starodavna država [509 bc-27 bc]")
![Iranska revolucija [1978–1979]](https://images.thetopknowledge.com/img/world-history/8/iranian-revolution-19781979.jpg "Iranska revolucija [1978–1979]")
