Temelji matematike

Teorija kategorij

Abstrakcija iz matematike

Eden zadnjih trendov v razvoju matematike je bil postopen postopek abstrakcije. Norveški matematik Niels Henrik Abel (1802–29) je dokazal, da enačb pete stopnje na splošno ne morejo rešiti radikali. Francoski matematik Évariste Galois (1811–32), deloma motiviran z Abelovim delom, je uvedel nekatere skupine permutacij, da bi določil potrebne pogoje, da je polinomna enačba rešljiva. Te konkretne skupine so kmalu ustvarile abstraktne skupine, ki so bile opisane aksiomatično. Nato smo ugotovili, da je treba za preučevanje skupin pogledati na odnos med različnimi skupinami, zlasti na homomorfizme, ki eno skupino preslikajo v drugo, hkrati pa ohranjajo skupinsko delovanje. Tako so ljudje začeli preučevati tako imenovano konkretno kategorijo skupin, katerih predmeti so skupine in katerih puščice so homomorfizmi. Ni trajalo dolgo, da so se konkretne kategorije nadomestile z abstraktnimi kategorijami, ki so jih spet aksiomatično opisali.

Pomemben pojem kategorije sta uvedla Samuel Eilenberg in Saunders Mac Lane ob koncu druge svetovne vojne. Te sodobne kategorije je treba razlikovati od Aristotelovih kategorij, ki jih v današnjem kontekstu bolje imenujemo vrste. Kategorija nima med njimi samo predmetov, ampak tudi puščice (ki jih imenujemo tudi morfizmi, transformacije ali preslikave).

Številne kategorije imajo nabora objektov obdarjene z nekaj strukture in puščicami, ki ohranjajo to strukturo. Tako obstajajo kategorije skupkov (s prazno strukturo) in preslikave, skupin in skupinskih homomorfizmov, obročev in obročnih homomorfizmov, vektorskih prostorov in linearnih transformacij, topoloških prostorov in neprekinjenih preslikav ipd. Na še bolj abstraktni ravni celo obstaja kategorija (majhnih) kategorij in funkcij, kot se imenujejo morfizmi med kategorijami, ki ohranjajo razmerja med predmeti in puščicami.

Vse kategorije ni mogoče obravnavati na ta konkreten način. Formule deduktivnega sistema se lahko na primer obravnavajo kot predmeti kategorije, katere puščice f: A → B so odbitki B od A. Pravzaprav je to stališče pomembno v teoretični računalniški znanosti, kjer razmišljamo o formulah kot vrste in odbitki kot operacije.

Formalno je kategorija sestavljena iz (1) zbirke predmetov A, B, C,…, (2) za vsak urejen par predmetov v zbirki povezana zbirka transformacij, vključno z identiteto I _A ∶ A → A, in (3) pridruženi zakon sestave za vsako urejeno trojico predmetov v kategoriji, tako da za f ∶ A → B in g ∶ B → C je sestava gf (ali g ○ f) preobrazba iz A v C - torej gf ∶ A → C. Poleg tega je treba držati asociativni zakon in identitete (kjer sestavki so definirani) -ie, h (gf) = (Hg) f in 1 _B f = F = f1.

Predmeti abstraktne kategorije v določenem smislu nimajo oken, kot monade Leibniz. Za sklep o notranjosti predmeta A je treba samo pogledati vse puščice iz drugih predmetov na A. Na primer, v kategoriji nizov so lahko elementi niza A predstavljeni s puščicami iz značilnega enoelektričnega sklopa v A. Podobno je v kategoriji malih skupin, če 1 je kategorija z enega predmeta in brez neidentiteta puščic, predmeti za kategorijo A lahko identificirati z funktorjev 1 → A. Poleg tega, če 2 kategorija z dvema objektoma in eno neidentiteta puščice so puščice A mogoče identificirati z funktorjev 2 → A.

Izomorfne strukture

Puščica f: a → B imenujemo tudi izomorfizem če je puščica g: B → inverznim f-, da je, tako da g ○ f = 1 in f ○ g = 1 _B. To je napisano A ≅ B, A in B pa se imenujeta izomorfni, kar pomeni, da imata v bistvu isto strukturo in da ju ni treba ločevati. Ker so matematične enote predmeti kategorij, jih dajemo le do izomorfizma. Njihove tradicionalne postavljene teoretične konstrukcije, poleg tega, da služijo uporabnemu namenu pri prikazu doslednosti, so resnično nepomembne.

Na primer, v običajni konstrukciji obroča celih števil je celo število določeno kot razred enakovrednosti parov (m, n) naravnih števil, kjer je (m, n) ekvivalenten (m ', n'), če in samo če je m + n '= m' + n. Ideja je, da je enakovrednost razreda (m, n) obravnavati kot m - n. Ključnega pomena za kategoriko je, da je obroč gers celih števil začetni objekt v kategoriji obročev in homomorfizmov - torej da za vsak obroč obstaja edinstven homomorfizem ℤ → ℝ. Če gledamo na ta način, se ℤ daje samo do izomorfizma. V istem duhu ne bi smeli reči, da je contained vsebovano v polju rational racionalnih števil, ampak le, da je homomorfizem ℤ → ℚ ena na ena. Prav tako ni smiselno govoriti o množilno-teoretičnem presečišču π in kvadratnega korena √-1, če sta oba izražena kot množice nizov (ad infinitum).

Posebno zanimanje za fundacije in drugod so sosednji funktorji (F, G). To sta pari funktorjev med dvema kategorijama ? in ℬ, ki gredo v nasprotni smeri, tako da med nizom puščic F (A) → B v ℬ in nizom puščic A → G (B obstaja korespondenca ena proti ena).) v ? - torej tak, da so množice izomorfne.