Diophantus, po imenu Diofant iz Aleksandrije, (cvetel c. Ce 250), grški matematik, znan po svojem delu v algebri.
teorija števil: Diophantus
Od poznejših grških matematikov je še posebej zanimiv Diofant iz Aleksandrije (cvetel c. 250), avtor
Kar se malo ve o Diofantovem življenju, je naključno. Iz naziva "Aleksandrija" je razvidno, da je deloval v glavnem znanstvenem središču starogrškega sveta; in ker se ne omenja pred 4. stoletjem, se zdi verjetno, da je cvetel v 3. stoletju. Aritmetični epigram iz anthologia Graeca pozne antike, ki naj bi zasledil nekaj mejnikov njegovega življenja (poroka pri 33 letih, rojstvo sina pri 38 letih, sin sina štiri leta pred lastnim pri 84 letih), je verjetno mogoče domisliti. Pod njegovim imenom sta do nas prišla dva dela, oba nedokončana. Prvi je majhen fragment na mnogokotnih številkah (število je mnogokotno, če je isto število pik mogoče razporediti v obliki navadnega mnogokotnika). Druga, velika in izjemno vplivna razprava, na kateri počiva vsa starodavna in moderna slava Diofanta, je njegova Aritmetika. Njegov zgodovinski pomen je dvojen: to je prvo znano delo, ki je uporabljalo algebro v modernem slogu, in navdihnilo je ponovno rojstvo teorije števil.
Aritmetika se začne z uvodom, naslovljenim na Dionizija - verjetno svetega Dionizijev iz Aleksandrije. Po nekaterih splošnostih številk Diofant razloži svojo simboliko - uporablja simbole za neznano (ki ustreza našemu x) in njegove moči, pozitivne ali negativne, pa tudi za nekatere aritmetične operacije - večina teh simbolov je očitno besedna okrajšava. To je prvi in edini pojav algebrske simbolike pred 15. stoletjem. Po tem, ko je učil množenje moči neznanega, Diofant razloži množenje pozitivnih in negativnih izrazov in nato, kako reducirati enačbo na eno samo s pozitivnimi izrazi (standardna oblika, ki je bila prednostna v antiki). Ob teh uvodnih besedah Diophantus nadaljuje s težavami. Dejansko je Arithmetica v bistvu skupek težav z rešitvami, približno 260 v delu še vedno obstaja.
V uvodu je tudi zapisano, da je delo razdeljeno na 13 knjig. Šest teh knjig je bilo v Evropi poznanih v poznem 15. stoletju, v grščini so jih prenesli bizantinski učenjaki in jih oštevilčili od I do VI; štiri druge knjige so bile odkrite leta 1968 v prevodu v arabščino iz 9. stoletja Qusṭā ibn Lūqā. Vendar arabskemu besedilu manjka matematične simbolike in zdi se, da temelji na poznejšem grškem komentarju - morda pripombi Hipatije (c. 370–415) -, ki je razredčil Diofantovo razlago. Zdaj vemo, da je treba oštevilčenje grških knjig spremeniti: Arithmetica tako sestavljajo knjige od I do III v grščini, knjige od IV do VII v arabščini in, predvidoma, knjige od VIII do X v grščini (nekdanje grške knjige IV do VI). Nadaljnje preštevilčenje malo verjetno; dokaj gotovo je, da so Bizantinci v komentirani različici poznali le šest knjig, ki so jih prenesli, Arabci pa le Knjige I do VII.
Težave iz knjige I niso značilne, saj so večinoma preproste težave, ki se uporabljajo za ponazoritev algebrskega računanja. Razločne značilnosti Diofantovih problemov se pojavljajo v kasnejših knjigah: so nedoločene (imajo več rešitev), so druge stopnje ali so reducirane na drugo stopnjo (najvišja moč v spremenljivih pogojih je 2, tj. X 2), konča pa se z določitvijo pozitivne racionalne vrednosti za neznano, zaradi katere bo določeni algebrični izraz postal numerični kvadrat ali včasih kocka. (Diophantus v svoji knjigi uporablja „število“ za sklicevanje na tako imenovana pozitivna, racionalna števila; torej je kvadratno število kvadrat nekega pozitivnega, racionalnega števila.) V knjigah II in III se učijo tudi splošne metode. V treh problemih knjige II je razloženo, kako predstavljati: (1) katero koli dano kvadratno število kot vsoto kvadratov dveh racionalnih števil; (2) katero koli ne-kvadratno število, ki je vsota dveh znanih kvadratov, kot vsota dveh drugih kvadratov; in (3) katero koli dano racionalno število kot razlika dveh kvadratov. Medtem ko sta prva in tretja težava na splošno navedena, predpostavljeno poznavanje ene rešitve v drugem problemu kaže, da ni vsako racionalno število vsota dveh kvadratov. Diofant pozneje poda pogoj za celo število: dano število ne sme vsebovati nobenega osnovnega faktorja oblike 4n + 3, dvignjenega na liho moč, kjer je n negativno celo število. Takšni primeri so motivirali ponovno rojstvo teorije števil. Čeprav je Diofant običajno zadovoljen, da dobi rešitev za težavo, v težavah občasno omenja, da obstaja neskončno število rešitev.
Diophantus v knjigah IV do VII razširi osnovne metode, kot so zgoraj opisane, na težave višjih stopenj, ki jih je mogoče reducirati na binomno enačbo prve ali druge stopnje. Predgovori teh knjig navajajo, da je njihov namen zagotoviti bralcu "izkušnje in spretnosti." Čeprav to nedavno odkritje ne povečuje znanja o Diofantovi matematiki, vendar spreminja oceno njegove pedagoške sposobnosti. Knjigi VIII in IX (verjetno grški knjigi IV in V) rešujeta težje težave, čeprav osnovne metode ostanejo enake. Na primer, ena težava vključuje dekompozicijo danega celotnega števila v vsoto dveh kvadratov, ki sta poljubno blizu drug drugemu. Podobna težava vključuje razkroj določenega celotnega števila v vsoto treh kvadratov; v njej Diophantus izključi nemogoč primer celih števil oblike 8n + 7 (spet je n negativno celo število). Knjiga X (verjetno grška knjiga VI) obravnava pravokotne trikotnike z racionalnimi stranmi in podvrženi različnim nadaljnjim pogojem.
Vsebino treh manjkajočih knjig Arithmetica je mogoče predpostaviti iz uvodne izjave, kjer Diophantus, potem ko je rekel, da bi zmanjšanje problema "po možnosti končal z binomno enačbo," obravnava primer "pozneje" trinomalne enačbe - obljuba, ki v obstoječem delu ni izpolnjena.
Čeprav je imel na razpolago omejena algebraična orodja, je Diofant uspel rešiti veliko različnih težav, Arithmetica pa je navdihnila arabske matematike, kot je al Karajī (c. 980–1030), da uporabljajo njegove metode. Najbolj znan del Diofantovega dela je bil Pierre de Fermat (1601–65), ustanovitelj moderne teorije števil. Ob robu svoje kopije Arithmetica je Fermat napisal različne pripombe, v katerih je predlagal nove rešitve, popravke in posplošitve Diofantovih metod, pa tudi nekatere domneve, kot je zadnji Fermatov izrek, ki je matematike zasedal v prihodnjih generacijah. Nedoločene enačbe, omejene na celovite rešitve, so bile znane, čeprav neprimerno, kot Diofantine enačbe.
