Evklidska geometrija
Če upoštevamo evklidsko geometrijo, jasno razberemo, da se nanaša na zakone, ki urejajo položaje togih teles. Zamišljeno je upoštevati domiselno misel, kako bi vse odnose, ki zadevajo telesa in njihove relativne položaje, izsledili na zelo preprost koncept "razdalja" (Strecke). Razdalja označuje togo telo, na katerem sta bili določeni dve materialni točki (znamki). Koncept enakosti razdalj (in kotov) se nanaša na poskuse, ki vključujejo naključja; iste pripombe veljajo za izrek o kongruenci. Zdaj, evklidska geometrija, v obliki, ki nam jo je izročil Euclid, uporablja temeljna pojma "ravna črta" in "ravnina", ki se zdita, da ne ustrezata ali v nobenem primeru ne tako neposredno, izkušnjam o položaju togih teles. Pri tem je treba opozoriti, da se pojem premice lahko zmanjša na koncept razdalje.1 Poleg tega se geometriki niso ukvarjali z navezovanjem svojih temeljnih konceptov na izkušnjo, kot z logičnim sklepanjem geometrijskih predlogov iz nekaj aksiomov, izrečenih na začetku.
Naj na kratko opišemo, kako je mogoče iz pojma oddaljenosti dobiti osnovo evklidske geometrije.
Izhajamo iz enakosti razdalj (aksiom enakosti razdalj). Predpostavimo, da je od dveh neenakih razdalj ena vedno večja od druge. Za neenakost razdalje veljajo enaki aksiomi, kot veljajo za neenakost števil.
Tri razdalje AB 1, BC 1, CA 1 imajo lahko, če je CA 1 ustrezno izbran, svoje oznake BB 1, CC 1, AA 1, nameščene drug na drugega, tako da nastane trikotnik ABC. Razdalja CA 1 ima zgornjo mejo, za katero je ta konstrukcija še vedno mogoča. Točke A, (BB ') in C nato ležijo v "premici" (definicija). To vodi do konceptov: ustvarjanje razdalje za znesek, enak samemu sebi; delitev razdalje na enake dele; izražanje razdalje v smislu števila z merilno palico (opredelitev razmika med dvema točkama).
Ko smo na ta način pridobili koncept intervala med dvema točkama ali dolžino razdalje, potrebujemo le naslednji aksiom (Pitagorov izrek), da analitično pridemo do evklidske geometrije.
Vsaki točki prostora (referenčno telo) se lahko dodelijo tri številke (koordinate) x, y, z - in obratno - tako, da za vsak par točk A (x 1, y 1, z 1) in B (x 2, y 2, z 2) teorem drži:
merilno število AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Vsi nadaljnji koncepti in predlogi evklidske geometrije se lahko nato na tej podlagi zgradijo čisto logično, zlasti tudi predlogi o ravni črti in ravnini.
Te pripombe seveda niso namenjene nadomestitvi strogo aksiomatične konstrukcije evklidske geometrije. Želeli smo zgolj nazorno navesti, kako je mogoče vse pojme o geometriji zaslediti na daljavo. Mogoče smo prav tako izpopolnili celotno osnovo Evklidove geometrije v zadnjem zgornjem teoremu. Odnos do temeljev izkušenj bi bil nato opremljen z dodatnim izrekom.
Koordinata je lahko in mora biti izbrana tako, da se lahko dva para točk, ločenih v enakih intervalih, izračunano s pomočjo Pitagorinega teorema, ujemata z eno in isto primerno izbrano razdaljo (na trdnem tiru).
Koncepti in predlogi evklidske geometrije lahko izhajajo iz Pitagorinega predloga brez uvedbe togih teles; vendar ti koncepti in predlogi potem ne bi imeli vsebine, ki bi jo bilo mogoče preizkusiti. Niso "resnične" trditve, ampak le logično pravilne trditve povsem formalne vsebine.
![Bitka pri Plataji Grška zgodovina [479 bce]](https://images.thetopknowledge.com/img/world-history/8/battle-plataea-greek-history-479-bce.jpg "Bitka pri Plataji Grška zgodovina [479 bce]")