Riemannova hipoteza, v teoriji števil, hipoteza nemškega matematika Bernharda Riemanna o lokaciji rešitev rešitev zeta funkcije Riemann, ki je povezana s teoremom pravih števil in ima pomembne posledice za porazdelitev pravih števil. Riemann je hipotezo vključil v članek z naslovom "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("O številu največjih številk manj od določene količine"), objavljen v reviji Monatsberichte der Berliner Akademie (mesečni pregled) leta 1859 berlinske akademije ”).
Funkcija zeta je opredeljena kot neskončni niz ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯ ali, v bolj kompaktnem zapisu, , kjer seštevek (Σ) izrazov za n poteka od 1 do neskončnosti skozi pozitivna cela števila, s pa je fiksno pozitivno celo število, večje od 1. Zeta funkcijo je v 18. stoletju prvič preučil švicarski matematik Leonhard Euler. (Zaradi tega jo včasih imenujemo Eulerjeva zeta funkcija. Za ζ (1) je ta serija preprosto harmonična serija, znana od antike do brezpogojnega povečanja - tj. Njena vsota je neskončna.) Euler je dosegel takojšnjo slavo, ko je izkazal leta 1735, da ζ (2) = π 2 /6 težava, ki je ušel največje matematiki era, vključno družine švicarski Bernoulli (Jakobove, Johann in Daniel). Na splošno je Euler odkril (1739) razmerje med vrednostjo zeta funkcije za celoštevilna števila in Bernoullijeve številke, ki so koeficienti pri Taylorjevi seriji širitve x / (e x - 1). (Glej tudi eksponentno funkcijo.) Še bolj neverjetno je, da je Euler leta 1737 odkril formulo, ki se nanaša na funkcijo zeta, ki vključuje seštevanje neskončnega zaporedja izrazov, ki vsebujejo pozitivna cela števila, in neskončen izdelek, ki vključuje vsako prvo število:
Riemann je razširil študijo zeta funkcije in vključil kompleksna števila x + iy, kjer je i = kvadratni koren − − 1, razen vrstice x = 1 v kompleksni ravnini. Riemann je vedel, da je zeta funkcija enaka nič za vsa negativna celo števila −2, −4, −6,
(tako imenovane trivialne ničle) in da ima neskončno število ničel v kritičnem pasu kompleksnih števil, ki sodijo strogo med premici x = 0 in x = 1. Prav tako je vedel, da so vse netrivialne ničle simetrične glede na kritična krivulje x = 1 / 2. Riemann je domneval, da so vse netrivialne ničle na kritični črti, domneva, ki je pozneje postala znana kot Riemannova hipoteza.
Leta 1914 angleščina matematik Godfrey Harold Hardy izkazalo, da neskončno število raztopin ζ (y) = 0, obstaja na kritično krivulje x = 1 / 2. Nato so različni matematiki pokazali, da mora velik del rešitev ležati na kritični črti, čeprav so pogosti "dokazi", da so vse netrivialne rešitve na njem, napačne. Računalniki so bili uporabljeni tudi za preizkušanje rešitev, pri čemer se je pokazalo, da prvih 10 trilijonov netrivialnih rešitev leži na kritični črti.
Dokaz o Riemannovi hipotezi bi imel daljnosežne posledice za teorijo števil in za uporabo praštevil v kriptografiji.
Riemannova hipoteza že dolgo velja za največji nerešeni problem matematike. Bil je eden od desetih nerešenih matematičnih problemov (23 jih je v tiskanem naslovu) predstavil nemški matematik David Hilbert kot izziv matematikom 20. stoletja na drugem mednarodnem kongresu matematike v Parizu 8. avgusta 1900. Leta 2000 je ameriški matematik Stephen Smale je posodobil Hilbertovo idejo s seznamom pomembnih težav za 21. stoletje; Riemannova hipoteza je bila številka ena. Leta 2000 so ga razglasili za problem tisočletja, enega od sedmih matematičnih problemov, ki ga je za posebno nagrado izbral Inštitut za matematiko iz gline iz Cambridgea, Massachusetts, ZDA. Rešitev za vsak tisočletni problem je vredna milijon dolarjev. Leta 2008 jo je ameriška agencija za napredne raziskovalne projekte na področju obrambe (DARPA) navedla kot enega od matematičnih izzivov DARPA, 23 matematičnih problemov, za katere je zbirala raziskovalne predloge za financiranje. Teorija svetega grala številk."
