Neelastičen odziv
Zgornji način izražanja [σ] v smislu [S] velja tudi za trdne snovi, ki prikazujejo viskoelastični ali plastični odziv, le da potem [S] ne velja samo za funkcijo sedanjega [E M] in θ, vendar tudi kot odvisna od predhodne zgodovine obeh. Ob predpostavki, da takšni materiali kažejo elastičen odziv na nenadne spremembe napetosti ali na majhno razkladanje iz plastično deformiranega stanja, se lahko [S] še vedno izrazi kot derivat f, kot zgoraj, vendar se pojmuje, da je izpeljanka glede elastike nihanja obremenitve in jo je treba sprejeti pri določenem θ ter s predhodno neelastično deformacijo in zgodovino temperature. Takšna odvisnost od zgodovine je včasih predstavljena kot odvisnost f od spremenljivk notranjega stanja, katerih zakoni evolucije so del neelastičnega konstitutivnega opisa. Obstajajo tudi enostavnejši modeli neelastičnega odziva, naslednji pa so predstavljeni najpogosteje uporabljeni obrazci za plastičnost in lezenje izotropnih trdnih snovi.
V dobrem približku plastična deformacija kristalnih trdnih snovi ne povzroči sprememb v volumnu; in hidrostatične spremembe napetosti, ki pomenijo enako spremembo vseh normalnih napetosti, nimajo vpliva na plastični tok, vsaj za spremembe, ki so enakega reda ali velikosti kot trdnost trdne snovi v striži. Tako se ponavadi plastični odziv oblikuje v smislu deviatorskih napetosti, ki jih definiramo s τ ij = σ ij - δ ij (σ 11 + σ 22 + σ 33) / 3. Po Richardu von Misesu se v postopku, za katerega je ugotovljeno, da se z eksperimentom zmerno dobro ujema, razmerje med plastičnim tokom in formulisanjem oblikuje v smislu drugega invarijanta devijatorskih napetosti, običajno prepisanega kot
in jo imenujemo enakovredna natezna napetost. Opredelitev je narejena tako, da je za stanje enoosne napetosti σ enako natezni napetosti, razmerje med napetostjo in napetostjo za splošna stresna stanja pa je formulirano na podlagi podatkov iz nateznega preskusa. Zlasti je plastični sev ε p v preskusu z enoosno napetostjo opredeljen iz ε p = ε - σ / E, pri čemer se ε v nateznem preskusu razlaga kot obremenitev po logaritmični definiciji ε = lnλ, modul elastike E je predpostavimo, da ostanejo nespremenjene z deformacijo in σ / E << 1.
V teoretični različici teorije, ki ni odvisna od hitrosti, se na podlagi nateznih podatkov (ali tlačnih z ustreznimi preobrati znakov) iz monotonega preskusa obremenitve predvideva funkcija ε p (σ). V teoretičnih različicah z viskoplastičnimi ali visokotemperaturnimi teorijami se raztezni podatki razlagajo tako, da definirajo dε P / dt kot funkcijo σ v najpreprostejšem primeru, ki predstavlja na primer sekundarno lezenje in kot funkcijo σand ε p v teorijah namenjen za prikaz prehodnih učinkov lezenja ali odziva, ki so občutljivi na hitrost, pri nižjih temperaturah. Najprej razmislimo o modelu trdega plastičnega materiala, pri katerem se elastična deformabilnost v celoti ne upošteva, kar je včasih primerno pri težavah z velikim pretokom plastike, kot pri oblikovanju kovin ali dolgoročnem lezanju v zemeljski plašč ali za analizo plastičnih obremenitev na konstrukcije. Hitrost tenzorja deformacije D ij je določena z 2D ij = ∂v i / ∂x j + ∂v j / ∂x i, v trdnem plastičnem primeru [D] pa lahko enačimo s tistim, kar se lahko šteje za njen plastični del [D p], dano kot D p / ij = 3 (dε p / dt) τ ij / 2σ. Številčni faktorji zagotavljajo skladnost med D p / 11 in dε p / dt za enoosno napetost v 1-smerni smeri. Tudi enačba pomeni, da to pomeni
ki jih je treba integrirati v prejšnji zgodovini, da dobimo ε p, kot je potrebno za viskoplastične modele, pri katerih je dε p / dt funkcija σ in ε p. V različici, odvisni od hitrosti, je [D p] opredeljen kot nič, kadar je σ manjši od najvišje vrednosti, ki jo je dosegel v prejšnji zgodovini ali kadar je trenutna vrednost σ najvišja vrednost, vendar dσ / dt <0. (V elastično-plastičnem smislu to pomeni, da "raztovarjanje" vključuje le elastičen odziv.) Za idealno plastično trdno snov, ki je idealizirana, da lahko teče brez povečanja napetosti, ko je σ enako stopnji trdnosti, je dε p / dt velja za nedoločen, vendar nujno nenegativni parameter, ki ga je mogoče določiti (včasih ne enotno) le s celovito rešitvijo problema mejne vrednosti trdne mehanike.
Model elastično-plastičnega materiala nato oblikujemo tako, da zapišemo D ij = D e / ij + D p / ij, kjer je d p / ij podan glede na napetost in po možnosti tudi napetost, kot zgoraj in kjer stopnja elastične deformacije [D e] so povezane z napetostmi z običajnim linearnim elastičnim izrazom D e / ij = (1 + ν) σ ij * / E - νδ ij (σ 11 * + σ 22 * + σ 33 *) / E. Tu se stopnje stresa izrazijo kot hitrosti sov rotacije Jaumanna
je izpeljanka, ki sledi gibanju materialne točke in kjer je spin Ω ij opredeljen z 2Ω ij = ∂v i / ∂x j - ∂v j / ∂x i. Stopnje kotalnih rotacijskih napetosti so tiste, ki jih izračuna opazovalec, ki se vrti s povprečno kotno hitrostjo materialnega elementa. Elastični del odnosa napetosti in napetosti mora biti skladen z obstojem proste energije f, kot je razloženo zgoraj. Tega natančno ne izpolnjujejo pravkar podane oblike, vendar razlike med njim in obrazcem, ki je na ta način dosleden, vključujejo dodatne izraze, ki so v σ / E 2 -krat večji od σ kl * in so zanemarljivi v značilnih primerih, v katerih uporabljena je teorija, saj je σ / E ponavadi izredno majhen del enotnosti, recimo 10 -4 do 10-2. Različica teorije z majhnimi obremenitvami je v uporabi za elastično-plastično analizo napetosti. V teh primerih [D] nadomestimo z ∂ [ε (X, t)] / ∂t, kjer je [ε] tenzor z majhnimi napetostmi, ∂ / ∂x z ∂ / ∂X v vseh enačbah in [σ *] z ∂ [σ (X, t)] / ∂t. Zadnja dva koraka ne moreta biti vedno upravičena, tudi v primeru zelo majhnega napora, ko na primer v materialu, ki ni odvisen od hitrosti, dσ / dε p ni velik v primerjavi z σ ali kadar hitrosti vrtenja materialnih vlaken lahko postanejo veliko večje kot stopnja raztezanja, kar skrbi za težave z izboklinami tudi pri čisto elastičnih trdnih snoveh.
