Formalna logika

Semantična tabela

Od osemdesetih let prejšnjega stoletja je drugačna tehnika določanja veljavnosti argumentov bodisi v računalniku bodisi v LPC-ju pridobila nekaj priljubljenosti, tako zaradi enostavnosti učenja, kot tudi zaradi neposredne izvedbe računalniških programov. Prvotno ga je predlagal nizozemski logik Evert W. Beth, bolj celovito pa ga je razvil in objavil ameriški matematik in logik Raymond M. Smullyan. Če se opiramo na ugotovitev, da ni mogoče, da so utemeljene trditve resnične, medtem ko je sklep napačen, ta metoda poskuša interpretirati (ali ovrednotiti) prostore tako, da so vsi hkrati zadovoljni in negirajo zaključek je tudi zadovoljen. Uspeh v takem prizadevanju bi pokazal, da je argument neveljaven, medtem ko bi, če takšna razlaga ni bila najti, veljavna.

Konstrukcija semantične tabele poteka na naslednji način: izrazite premise in negacijo zaključka argumenta v PC-ju z uporabo samo negacije (∼) in disjunkcije (∨) kot predloge vezi. Odpravite vsak pojav dveh negacijskih znakov v zaporedju (npr. ∼∼∼∼∼a postane ∼a). Zdaj sestavite drevesni diagram, ki se razveja navzdol, tako da vsako ločitev zamenjata dve veji, ena za levi ločitveni in ena za desni. Izvirna ločitev je resnična, če je res ena od obeh vej. Sklicevanje na zakone De Morgana kaže, da je negacija disjunkcije resnična v primeru, da sta negaciji obeh disjunktur resnični [tj. ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. To semantično opazovanje vodi v pravilo, da negacija disjunkcije postane ena veja, ki vsebuje negacijo vsakega disjunkta:

Upoštevajte naslednji argument:

Napišite:

Zdaj poudarite disjunkturo in oblikujte dve veji:

Samo če so vsi stavki v vsaj eni veji resnični, je mogoče, da so prvotni premisleki resnični, sklep pa napačen (enakovredno za negacijo zaključka). Če sledimo črto navzgor v vsaki veji do vrha drevesa, opazimo, da nobeno vrednotenje a na levi veji ne bo povzročilo, da bodo vsi stavki v tej veji dobili vrednost res (zaradi prisotnosti a in ∼a). Podobno prisotnost b in ∼b v desni veji onemogoča, da bi vrednotenje privedlo do tega, da vsi stavki veje dobijo vrednost res. To so vse možne veje; tako ni mogoče najti situacije, v kateri so prostori resnični, sklep pa napačen. Prvotni argument je torej veljaven.

Ta tehnika se lahko razširi na druge povezovalce:

Poleg tega je treba v LPC uvesti pravila za podajanje količinsko opredeljenih wffov. Jasno je, da je vsaka veja, ki vsebuje oba (∀x) ϕx in ∼ϕy, v kateri ni mogoče hkrati zadovoljiti vseh stavkov v tej veji (pod predpostavko ω-doslednosti; glej metalogic). Če spet vse veje ne bodo hkrati zadovoljive, je izvirni argument veljaven.

Posebni sistemi LPC

LPC, kot je opisano zgoraj, se lahko spremeni z omejevanjem ali razširitvijo obsega wffov na različne načine:

• 1. Delni sistemi LPC. Tu je predstavljenih nekaj pomembnejših sistemov, ki nastajajo z omejitvami:

  • a.To lahko zahteva, da je vsaka predikatna spremenljivka monadna, hkrati pa omogoča neskončno število posameznih in predikatnih spremenljivk. Atomske wffs so potem preprosto tiste, ki so sestavljene iz predikatne spremenljivke, ki ji sledi posamezna spremenljivka. Sicer pravila oblikovanja ostanejo kot prej, opredelitev veljavnosti pa je tudi kot prej, čeprav na očitne načine poenostavljena. Ta sistem je znan kot monadski LPC; zagotavlja logiko lastnosti, ne pa tudi odnosov. Ena pomembnih značilnosti tega sistema je, da je odločljiv. (Vendar bi uvedba ene same diadikalne predikatne spremenljivke naredila sistem, ki ga ni mogoče razločiti, in pravzaprav se celo sistem, ki vsebuje samo eno diadikalno predikatno spremenljivko, in nobenih drugih predikatnih spremenljivk sploh ni mogoče določiti.)

  • bA še enostavnejši sistem je mogoče oblikovati tako, da zahteva (1), da je vsaka predikatna spremenljivka monadna, (2), da se uporablja samo ena posamezna spremenljivka (npr. x), (3), da je vsak pojav te spremenljivke vezan, in (4) da v obsegu nobenega drugega ne pride noben kvantifikator. Primeri wffov tega sistema so (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] („karkoli je ϕ, je ψ in χ“); (∃x) (ϕx · ∼ψx) („Nekaj ​​je, kar je ϕ, vendar ni ψ“); in (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) („Če je karkoli ϕ je ψ, potem je nekaj tako ϕ kot ψ“). Označevanje tega sistema lahko poenostavimo tako, da povsod izpustimo x in zapišemo ∃ϕ za »Nekaj ​​je«, ∀ (ϕ ⊃ ψ) za »Karkoli je ϕ, je« in tako naprej. Čeprav je ta sistem bolj rudimentaren celo od monadičnega LPC (katerega delček je), so v njem lahko predstavljene oblike najrazličnejših sklepov. To je tudi odločljiv sistem in zanj se lahko dodelijo postopki odločanja elementarne vrste.

• 2. Razširitve LPC. Z dodajanjem novih simbolov različnih vrst so LPC zgradili bolj izpopolnjene sisteme, v katerih je mogoče izraziti širši niz predlogov. Med najprimernejšimi takšnimi dodatki so:

  • a. Ena ali več posameznih konstant (recimo a, b,

    ): te konstante razlagajo kot imena posebnih posameznikov; formalno se od posameznih spremenljivk ločijo po tem, da se ne morejo pojaviti znotraj kvantifikatorjev; npr. (∀x) je kvantifikator, vendar (∀a) ni.

  • b. Ena ali več predikatnih konstant (recimo A, B,

    ), pri čemer ima vsaka določeno stopnjo, ki označuje posebne lastnosti ali razmerja.

Nadaljnji možni dodatek, ki zahteva nekoliko popolnejšo razlago, je sestavljen iz simbolov, zasnovanih za delovanje. Pojem funkcije je za sedanje namene lahko dovolj razložen, kot sledi. Kaže, da obstaja določena funkcija n argumentov (ali stopnje n), kadar obstaja pravilo, ki določa edinstven predmet (imenovan vrednost funkcije), kadar so vsi argumenti navedeni. Na področju človeških bitij je na primer "mati -" monadna funkcija (funkcija enega argumenta), saj je za vsakega človeka edinstven posameznik, ki je njegova mati; in v domeni naravnih števil (tj. 0, 1, 2,

), "Vsota - in -" je funkcija dveh argumentov, saj za kateri koli par naravnih števil obstaja naravno število, ki je njihovo vsota. Simbol funkcije je mogoče razumeti kot oblikovanje imena iz drugih imen (njegovih argumentov); torej, kadar koli imena x in y imenujeta, "vsota x in y" prav tako imenuje število in podobno za druge vrste funkcij in argumentov.

Če želite funkcije izraziti v LPC, lahko dodate:

• c. Ena ali več funkcijskih spremenljivk (recimo f, g,

  ) ali eno ali več funkcijskih konstant (recimo F, G,

  ) ali oboje, vsako od določene stopnje. Prvi se razlagajo tako, da segajo preko funkcij določenih stopenj, drugi pa kot označevanje posebnih funkcij te stopnje.

Ko so v LPC dodani kateri koli ali vsi a-c, je treba spremeniti pravila tvorbe, navedena v prvem odstavku oddelka na spodnjem računu predikata (glejte zgoraj Spodnji izračun), da se novi simboli lahko vključijo v wffs. To je mogoče storiti na naslednji način: izraz je najprej opredeljen kot (1) posamezna spremenljivka ali (2) posamezna konstanta ali (3) kateri koli izraz, tvorjen s predpono funkcijske spremenljivke ali funkcijske konstante stopnje n na poljuben n izraz (ti izrazi - argumenti simbola funkcije - so običajno ločeni z vejicami in zaprti v oklepajih). Pravilo tvorbe 1 se nato nadomesti z:

• 1 'Izraz, sestavljen iz predikatne spremenljivke ali predikatne konstante stopnje n, ki ji sledi n izrazov, je wff.

Aksiomatična osnova, navedena v razdelku o aksiomatizaciji LPC (glej zgoraj Aksiomatizacija LPC), zahteva tudi naslednje spremembe: v aksiomski shemi 2 je dovoljen kakršen koli izraz, ki nadomešča a, ko je tvorjen β, pod pogojem, da ni spremenljivke, ki ni prosta izraz postane vezan v β. Naslednji primeri bodo ponazarjali uporabo zgoraj omenjenih dodatkov LPC: naj bodo vrednosti posameznih spremenljivk naravne številke; posamezne konstante a in b stojijo za števili 2 oziroma 3; naj pomeni, da je „glavni del“; in naj F predstavlja dialoško funkcijo "vsota." Nato AF (a, b) izrazi propozicijo "Vsota 2 in 3 je enostavna", in (∃x) AF (x, a) izrazi predlog "Obstaja število, takšno, da je vsota le-te in 2 enostavna."

Uvedbo konstant običajno dodaja aksiomatična osnova posebnih aksiomov, ki vsebujejo te konstante, zasnovane tako, da izražajo načela, ki vsebujejo predmete, lastnosti, razmerja ali funkcije, ki jih predstavljajo - čeprav ne vsebujejo predmetov, lastnosti, odnosi ali funkcije na splošno. Lahko se na primer odločimo, da bomo uporabili konstanto A, da bi predstavili diadično razmerje "večje od" (tako da Axy pomeni "x je večji od y" in tako naprej). Ta odnos je za razliko od mnogih drugih prehoden; tj. če je en predmet večji od sekunde in je ta drugi na koncu večji od tretjine, je prvi večji od tretjega. Zato lahko dodamo naslednjo posebno shemo aksiomov: če so kakršni koli izrazi t ₁, t ₂ in t ₃, potem (Pri ₁ t ₂ · Pri ₂ t ₃) ⊃ Pri ₁ t ₃ je aksiom. S takimi sredstvi je mogoče zgraditi sisteme za izražanje logičnih struktur različnih posameznih disciplin. Področje, na katerem je bilo opravljeno največ tovrstnih del, je aritmetika v naravnem številu.

PC in LPC sta včasih združena v en sam sistem. To je mogoče najlažje narediti tako, da na seznam primitivnih LPC dodate predloge spremenljivk, dodate oblikovalno pravilo, da je samo predlagana spremenljivka wff, in izbrišete »LPC« v aksiomski shemi 1. To daje kot wffs take izraze kot (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx in (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-z-identiteto. Beseda "je" se ne uporablja vedno enako. V predlogu, kot je (1) "Sokrat je snubljen", izraz pred "je" poimenuje posameznika, izraz, ki sledi, pa pomeni lastnost, pripisana temu posamezniku. Toda v predlogu, kot je (2) "Sokrat je atenski filozof, ki je pil hemo," izrazi, ki so bili pred njo in sledijo "je", obe osebi, smisel celotne trditve pa je, da je posameznik, ki ga je imenoval prvi, isti posameznik kot posameznik, ki ga imenuje drugi. Tako se v 2 "je" lahko razširi na "je isti posameznik kot", medtem ko v 1 ne more. Kot je uporabljeno v 2, pomeni "je" diadični odnos - in sicer identiteta -, ki ga trditev drži med obema posameznikoma. Predlog identitete je treba v tem kontekstu razumeti kot trditev, ki ni več kot to; zlasti ne gre šteti za trditev, da imata dva poimenovalna izraza isti pomen. Veliko razpravljan primer za ponazoritev te zadnje točke je "Jutranja zvezda je večerna zvezda." Lažno je, da izraza "jutranja zvezda" in "večerna zvezda" pomenita isto, res pa je, da je objekt, na katerega se sklicuje prvi, enak tistemu, na katerega se sklicuje slednja (planet Venera).

Da bi omogočili izražanje oblik identitetnih predlogov, je v LPC dodana diadikalna predikantna konstanta, za katero je najpogostejši zapis = (napisan med, prej kot prej, njegovi argumenti). Namenska interpretacija x = y je, da je x isti posameznik kot y in najprimernejše branje je "x je enako y." Njegova negacija ∼ (x = y) se običajno skrajša kot x ≠ y. K predhodni definiciji modela LPC (glej zgornjo veljavnost LPC) je zdaj dodano pravilo (ki očitno ustreza predvideni razlagi), da mora biti vrednost x = y enaka, če je isti član D je dodeljen obema x in y in da je v nasprotnem primeru njegova vrednost 0; veljavnost lahko nato določimo kot prej. Naslednji dodatki (ali nekateri enakovredni) so v osnovi aksiomatskih LPC sestavljeni: aksiom x = x in aksiomska shema, kjer sta a in b kakršne koli posamezne spremenljivke in sta α in β wffi, ki se razlikujejo le v tem, da eno ali več krajev, kjer ima α prost pojav a, ima β prost pojav b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) je aksiom. Takšen sistem je znan kot identiteta z nižjim predikatom-računanje; seveda ga lahko še dopolnimo na druge načine, navedene zgoraj v razširitvi LPC, v tem primeru je lahko kateri koli izraz argument za =.

Identiteta je enakovredna povezava; je refleksno, simetrično in tranzitivno. Njegova refleksivnost je neposredno izražena v aksiomu x = x, iz teorezmov, ki izražajo njeno simetričnost in prehodnost, pa je mogoče enostavno izpeljati iz podane osnove.

Nekateri wffs iz LPC z identiteto izražajo predloge o številu stvari, ki imajo neko dano lastnost. "Vsaj ena stvar je ϕ" bi se seveda lahko že izrazila z (∃x) ϕx; "Vsaj dve različni stvari (nenidentični) sta ϕ" lahko zdaj izrazimo z (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); in zaporedje je mogoče nadaljevati na očiten način. "Kvečjemu ena stvar je ϕ" (tj. "Nobene dve različni stvari nista obe ϕ") lahko izrazimo z negacijo zadnje omenjene wff ali njene enakovredne, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y] in zaporedje je spet mogoče enostavno nadaljevati. Formulo za "Točno eno stvar je ϕ" lahko dobimo s povezovanjem formul za "Vsaj ena stvar je and" in "Kvečjemu ena stvar je ϕ", vendar je enostavnejši wff enakovreden tej veznici (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], kar pomeni, da je nekaj, kar je ϕ, in vse, kar je ϕ, je to stvar. " Predlog „Natanko dve stvari sta ϕ“ lahko predstavljamo s (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; tj. "Obstajata dve nenavadni stvari, od katerih je vsaka ϕ, in vse, kar je ϕ, je eno ali drugo od tega." Jasno je, da lahko to zaporedje razširimo tudi tako, da dobimo formulo za „Točno n stvari so ϕ“ za vsako naravno število n. Priročno je, da wff okrajšamo za »Natanko ena stvar je ϕ« na (∃! X) ϕx. Ta posebni kvantifikator se pogosto bere na glas kot "E-Shriek x."

Določeni opisi

Kadar določena lastnost ϕ pripada enemu in samo enemu predmetu, je priročno imeti izraz, ki imenuje ta objekt. V ta namen je skupna nota (ιx) ϕx, ki jo lahko beremo kot »stvar, ki je« ali na kratko kot »ϕ«. Na splošno je, kadar je a vsaka posamezna spremenljivka in je α kateri koli wff, (ιa) α potem pomeni enotno vrednost a, ki naredi α resnično. Določen opis se imenuje izraz oblike "tako in tako". in (ιx), znano kot operater opisov, lahko mislimo, da tvori ime posameznika iz obrazca predloga. (ιx) je analogen kvantifikatorju po tem, da, kadar je predpona na wff α, veže vsak prosti pojav x v α. Dovoljeno je tudi prenašanje omejenih spremenljivk; v najpreprostejšem primeru je mogoče (ιx) ϕx in (ιy) ϕy brati preprosto kot the.

Kar zadeva pravila o tvorbi, je mogoče dokončne opise vključiti v LPC tako, da izraze obrazca (ιa) α štejemo kot izraze; Pravilo 1 'zgoraj v razširitvi LPC omogoča, da se pojavljajo v atomskih formulah (vključno z identitetnimi formulami). „Φ je (tj. Ima lastnost) ψ“ se lahko nato izrazi kot ψ (ιx) ϕx; „Y je (isti posameznik kot) ϕ“ kot y = (ιx) ϕx; „Φ je (isti posameznik kot) ψ“ kot (ιx) ϕx = (ιy) ψy; in tako naprej.

Pravilna analiza predlogov, ki vsebujejo dokončne opise, je bila predmet velike filozofske polemike. Vendar pa je splošno sprejeto mnenje - v bistvu tisto v Principia Mathematica in znano kot Russell-ova teorija opisov -, da "ϕ je ψ" razumeti tako, da pomeni, da je točno ena stvar ϕ in da je ta stvar tudi ψ. V tem primeru se lahko izrazi z wff LPC z identiteto, ki ne vsebuje operaterjev opisov, in sicer (1) (∃x) [[x · ((y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogno je „y je ϕ“ analiziran kot „y je ϕ in nič drugega ni ϕ“ in je torej izrazno z (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "Φ je ψ" se analizira kot "natančno ena stvar je ϕ, točno ena stvar je ψ in karkoli je ϕ je ψ" in je torej izražena s (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx in (ιx) ϕx = (ιy) ψy lahko potem štejemo kot okrajšave za (1), (2) in (3); in s splošnim opisom na bolj zapletene primere je mogoče vse wffs, ki vsebujejo operaterje opisov, obravnavati kot okrajšave za daljše wffs, ki ne.

Analiza, ki vodi do (1) kot formule za „ϕ je ψ“ vodi do naslednjega za „ϕ ni ψ“: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Pomembno je opozoriti, da (4) ni negacija (1); ta negacija je namesto tega (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Razlika v pomenu med (4) in (5) je v tem, da je (4) resnično le, če obstaja točno ena stvar ϕ in ta stvar ni ψ, vendar (5) drži tako v tem primeru kot tudi kadar nič ni ϕ in kadar je več kot ena stvar ϕ. Zanemarjanje razlikovanja med (4) in (5) lahko povzroči resno zmedo misli; v navadnem govoru je pogosto nejasno, ali nekdo, ki zanika, da je ψ, priznava, da je točno ena stvar ϕ, vendar zanika, da je ψ, ali zanika, da je točno ena stvar ϕ.

Osnovna trditev Russellove teorije opisov je, da predloga, ki vsebuje točno določen opis, ne bi smeli obravnavati kot trditev o predmetu, ki mu je ta opis ime, ampak kot eksistenčno kvantificirano trditev, da ima določena (precej zapletena) lastnost primerek. Formalno se to odraža v pravilih za odstranjevanje operaterjev opisov, ki so bila opisana zgoraj.