Zgodovina analize
Grki naletijo na nenehne veličine
Analiza je sestavljena iz tistih delov matematike, v katerih je pomembna stalna sprememba. Ti vključujejo preučevanje gibanja in geometrije gladkih krivulj in površin, zlasti izračun tangenten, površin in volumnov. Starogrški matematiki so dosegli velik napredek tako v teoriji kot v praksi analize. Teorija jih je prisilila okoli 500 bce s pitagorejskim odkritjem iracionalnih velikosti in približno 450 bce z Zenonovimi paradoksi gibanja.
Pitagorejci in iracionalna števila
Sprva so pitagorejci verjeli, da je mogoče vse stvari izmeriti z diskretnimi naravnimi števili (1, 2, 3,
) in njihova razmerja (navadni ulomki ali racionalna števila). To prepričanje pa je pretreslo odkritje, da diagonala enotnega kvadrata (to je kvadrata, katerega stranice imajo dolžino 1), ni mogoče izraziti kot racionalno število. To odkritje je prineslo njihov lastni pitagorejski izrek, ki je ugotovil, da je kvadrat na hipotenuzi desnega trikotnika enak vsoti kvadratov na drugih dveh straneh - v sodobnem zapisu je c 2 = a 2 + b 2. V enotnem kvadraturi je diagonala hipotenuza desnega trikotnika s stranicami a = b = 1; zato je njegova mera kvadratni koren √2 - iracionalno število. Pitagorejci so v nasprotju s svojimi nameni pokazali, da racionalna števila niso dovolj za merjenje niti preprostih geometrijskih predmetov. (Glej stransko vrstico: Neizmerljivi.) Njihova reakcija je bila ustvariti aritmetiko odsekov črt, kot jih najdemo v knjigi II Euklidovih elementov (približno 300 bce), ki je vključevala geometrijsko razlago racionalnih števil. Za Grke so bili odseki linij splošnejši od števil, ker so vključevali neprekinjene in diskretne veličine.
Dejansko je lahko kvadratni koren of2 povezan z racionalnimi števili le z neskončnim postopkom. To je spoznal Euclid, ki je preučeval aritmetiko tako racionalnih števil kot linijskih odsekov. Njegov znameniti evklidski algoritem, ko ga uporabimo za par naravnih števil, vodi v končnem številu korakov do njihovega največjega skupnega delitelja. Če pa ga uporabimo za par odsekov vrstic z iracionalnim razmerjem, kot sta kvadratni koren od2 in 1, se ne ustavi. Euclid je celo uporabil to neprepustno lastnost kot merilo neracionalnosti. Tako je neracionalnost izzvala grški koncept števila, tako da jih je prisilila, da se spopadajo z neskončnimi procesi.
Zenonovi paradoksi in koncept gibanja
Kakor je bil kvadratni koren of2 izziv za koncept števila Grkov, so bili tudi Zenonovi paradoksi izziv za njihov koncept gibanja. Aristotel je v svoji Fiziki (približno 350 pr. BC) citiral:
Gibanja ni, ker tisto, ki je premaknjeno, mora priti na sredino poti, preden pride na koncu.
Argumente Zenove poznamo le prek Aristotela, ki jih je citiral predvsem zato, da jih ovrže. Verjetno je Zeno mislil, da je treba kamor koli priti na polovico poti in pred to četrtino poti in pred tisto osmino poti in tako naprej. Ker bi se ta postopek prepolovitve razdalj nadaljeval v neskončnost (koncept, ki ga Grki ne bi sprejeli, kot je mogoče), je Zeno trdil, da "dokazuje", da resničnost sestavlja nespremenljivo bitje. Kljub temu da so Grki kljub odvračanju od neskončnosti ugotovili, da je pojem nepogrešljiv pri matematiki neprekinjenih velikosti. Tako so o neskončnosti razmišljali čim bolj končno, v logičnem okviru, imenovanem teorija proporcev in z uporabo metode izčrpanosti.
Teorijo proporcij je ustvaril Eudoxus okoli 350 bce in jo ohranil v V knjigi Evklidov element. Vzpostavil je natančno razmerje med racionalnimi in poljubnimi velikostmi, tako da je določil dve velikosti, ki bi bili enaki, če bi bila racionalna velikost manjša od njih. Z drugimi besedami, dve veličini sta bili različni le, če je bila med njimi strogo velika razsežnost. Ta opredelitev je matematikom služila dve tisočletji in tlakovala pot aritmetizaciji analiz v 19. stoletju, v kateri so bila poljubna števila natančno opredeljena z vidika racionalnih števil. Teorija proporcij je bila prva stroga obravnava koncepta omejitev, ideje, ki je jedro sodobne analize. Sodobno je Eudoxusova teorija opredelila poljubne veličine kot meje racionalnih veličin, osnovne teoreme o vsoti, razliki in zmnožku pa so bile enakovredne teoremam o vsoti, razliki in produktu mej.
