Riemannova zeta funkcija, uporabna v teoriji števil za raziskovanje lastnosti pravih števil. Napisan kot ζ (x), je bil prvotno opredeljen kot neskončni nizζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Ko je x = 1, se ta niz imenuje harmonični niz, ki se povečuje brez vezave - tj. Njegova vsota je neskončna. Za vrednosti x, večje od 1, se serija približa končnemu številu, ko se dodajo zaporedni izrazi. Če je x manjši od 1, je vsota spet neskončna. Funkcija zeta je bila znana švicarskemu matematiku Leonhardu Eulerju leta 1737, vendar jo je najprej obsežno proučil nemški matematik Bernhard Riemann.
Leta 1859 je Riemann objavil članek, v katerem je bilo izrecno formulirano število praštevil do katere koli predhodno določene meje - odločilno izboljšanje glede na približno vrednost, ki jo daje teorem o številu. Riemannova formula pa je bila odvisna od poznavanja vrednosti, pri katerih je posplošena različica funkcije zeta enaka nič. (Rietova funkcija zete je definirana za vsa kompleksna števila - številke oblike x + iy, kjer je i = kvadratni koren − − 1 - razen za črko x = 1.) Riemann je vedel, da je funkcija enaka nič za vse negativne celo cela števila −2, −4, −6,
(tako imenovane trivialne ničle) in da ima neskončno število ničel v kritičnem traku kompleksnih števil med vrsticama x = 0 in x = 1, vedel pa je tudi, da so vse netrivialne ničle simetrične glede na kritične krivulje x = 1 / 2. Riemann je domneval, da so vse netrivialne ničle na kritični črti, domneva, ki je pozneje postala znana kot Riemannova hipoteza.
Leta 1900 je nemški matematik David Hilbert Riemannovo hipotezo označil za eno najpomembnejših vprašanj v vsej matematiki, kar nakazuje tudi njena vključitev v njegov vplivni seznam 23 nerešenih problemov, s katerimi je izzval matematike 20. stoletja. Leta 1915 je angleški matematik Godfrey Hardy dokazal, da se na kritični črti pojavi neskončno število ničel, do leta 1986 pa se je pokazalo, da je prvih 1.500.000.001 netrivialnih ničel na kritični črti. Čeprav se hipoteza morda še izkaže za napačno, so preiskave tega težkega problema obogatile razumevanje kompleksnih števil.
