Kurt Gödel, Gödel je črkoval tudi Goedel (rojen 28. aprila 1906, Brünn, Avstro-Ogrska [zdaj Brno, Češka] - umrl 14. januarja 1978, Princeton, NJ, ZDA), matematik, logik in rojen v Avstriji. filozof, ki je dobil tisto, kar je morda najpomembnejši matematični rezultat 20. stoletja: njegov slavni teorem o nepopolnosti, ki navaja, da znotraj katerega koli aksiomatičnega matematičnega sistema obstajajo trditve, ki jih ni mogoče dokazati ali oporekati na podlagi aksiomov znotraj tega sistema; tak sistem ne more biti hkrati popoln in dosleden. Ta dokaz je Gödela uveljavil kot enega največjih logikov od Aristotela, o njegovih posledicah pa se še danes čuti in razpravlja.
temelji matematike: Gödel
V Hilbertovem programu je bilo implicitno upanje, da bo skladenjski pojem dokazljivosti zajel semantični pojem resnice. Gödel
Zgodnje življenje in kariera
Gödel je kot otrok trpel v več obdobjih slabega zdravja, potem ko se je pri 6 letih spopadel z revmatično vročino, zaradi česar se je bal stranskih težav s srcem. Njegova vseživljenjska skrb za zdravje je morda pripomogla k njegovi morebitni paranoji, ki je vključevala obsesivno čiščenje jedilnega pribora in skrb za čistost hrane.
Kot nemško govoreči Avstrijec se je Gödel nenadoma znašel živeti v novoustanovljeni Češkoslovaški državi, ko je bilo konec prve svetovne vojne leta 1918 razpadlo Avstro-Ogrsko. Šest let kasneje je šel študirat v Avstrijo, na Univerzi na Dunaju, kjer je doktoriral iz matematike leta 1929. Naslednje leto se je pridružil fakulteti na dunajski univerzi.
V tistem obdobju je bil Dunaj eno izmed intelektualnih vozlišč sveta. Bil je dom slavnega dunajskega kroga, skupine znanstvenikov, matematikov in filozofov, ki so podprli naravoslovno, močno empirično in antimetafizično stališče, znano kot logični pozitivizem. Gödelov disertacijski svetovalec Hans Hahn je bil eden voditeljev dunajskega krožka, v skupino pa je predstavil svojega zvezdniškega študenta. Vendar pa se Gödeljeva lastna filozofska stališča ne bi mogla bolj razlikovati od stališčov pozitivistov. Naročil se je na platonizem, teizem in dualizem duha in telesa. Poleg tega je bil tudi nekoliko duševno nestabilen in je bil podvržen paranoji - težavi, ki se je s staranjem poslabšala. Tako mu je stik s člani dunajskega kroga pustil občutek, da je bilo 20. stoletje do njegovih idej sovražno.
Gödeljevi teoremi
V svoji doktorski disertaciji "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("O popolnosti logičnega računa), ki je bila v nekoliko skrajšani obliki objavljena leta 1930, je Gödel dokazal enega najpomembnejših logičnih rezultatov stoletja - v resnici o ves čas - in sicer izrek o popolnosti, ki je ugotovil, da je klasična logika prvega reda ali predikatno računanje popolna v smislu, da je mogoče vse standardne logične resnice prvega reda dokazati v standardnih sistemih za preverjanje prvega reda.
To pa ni nič v primerjavi s tistim, ki ga je Gödel objavil leta 1931, in sicer izrek o nepopolnosti: „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“ („O formalno nerazločljivih predlogih Principia Mathematica in sorodnih sistemov“). V grobem gledano je ta izrek določil rezultat, da ni mogoče uporabiti aksiomatične metode za izgradnjo matematične teorije v nobeni veji matematike, ki bi vsebovala vse resnice v tej veji matematike. (V Angliji sta Alfred North Whitehead in Bertrand Russell leta preživela tak program, ki sta ga v treh zvezkih v letih 1910, 1912 in 1913 objavila kot Principia Mathematica.) Na primer, aksiomatična matematična teorija ni mogoča. ki zajame celo vse resnice o naravnih številkah (0, 1, 2, 3,
). To je bil izredno pomemben negativen rezultat, saj so se mnogi matematiki pred letom 1931 trudili prav to - zgraditi aksiomske sisteme, ki bi jih lahko uporabili za dokazovanje vseh matematičnih resnic. Dejansko je več znanih logikov in matematikov (npr. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) porabilo velik del svoje kariere na tem projektu. Na žalost zanje je Gödelov izrek uničil ves ta aksiomatični raziskovalni program.
Mednarodno zvezdništvo in selitev v ZDA
Po objavi teorema o nepopolnosti je Gödel postal mednarodno znan intelektualni lik. Večkrat je potoval v ZDA in obširno predaval na univerzi Princeton v New Jerseyju, kjer je spoznal Alberta Einsteina. To je bil začetek tesnega prijateljstva, ki bi trajalo vse do Einsteinove smrti leta 1955.
Vendar se je tudi v tem obdobju začelo slabšati duševno zdravje Gödla. Trpel je zaradi depresije in po umoru Moritza Schlicka, enega od voditeljev dunajskega kroga, z opuščenim študentom je Gödel doživel živčni zlom. V prihodnjih letih je utrpel še več.
Potem ko je nacistična Nemčija 12. marca 1938 priključila Avstrijo, se je Gödel znašel v precej nerodnih razmerah, deloma tudi zato, ker je imel dolgo zgodovino tesnih zvez z različnimi judovskimi pripadniki dunajskega kroga (res je bil napaden na ulicah Dunaja mladostniki, ki so mislili, da je židov) in deloma zato, ker mu je nenadoma grozila novačenje v nemško vojsko. 20. septembra 1938 se je Gödel poročil z Adele Nimbursky (née Porkert), in ko je leto kasneje izbruhnila druga svetovna vojna, je z ženo pobegnil iz Evrope in se po čezsibirski železnici čez Azijo splul čez Tihi ocean, in nato z drugim vlakom čez ZDA do Princetona, NJ, kjer je s pomočjo Einsteina zasedel položaj na novo ustanovljenem Inštitutu za napredne študije (IAS). Preostanek življenja je preživel delajoč in poučujoč pri IAS, od koder se je upokojil leta 1976. Gödel je postal državljan ZDA leta 1948. (Einstein se je udeležil zaslišanja, ker je bilo Gödelsko vedenje dokaj nepredvidljivo, Einstein pa se je bal, da bi Gödel lahko sabotiral svoje lastni primer.)
Leta 1940, le nekaj mesecev po prihodu v Princeton, je Gödel objavil še en klasičen matematični prispevek, "Skladnost Aksioma izbire in Splošne hipoteze kontinuuma z aksiomi teorije množice", ki je dokazal, da sta aksiom izbire in kontinuiteta hipoteze so skladne s standardnimi aksiomi (kot so aksiomi Zermelo-Fraenkel) teorije množic. To je pokazalo polovico Gödelove domneve, in sicer, da hipoteze kontinuuma ni mogoče dokazati resnično ali napačno v teorijah standardnih postavitev. Gödelov dokaz je pokazal, da se v teh teorijah ne da dokazati, da je napačen. Leta 1963 je ameriški matematik Paul Cohen dokazal, da se tudi v teh teorijah ne da dokazati, da je dokazal Gödelovo domnevo.
Leta 1949 je Gödel pomembno prispeval tudi k fiziki in pokazal, da Einsteinova teorija splošne relativnosti dopušča možnost potovanja v času.
